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Find $lim_{x to infty} (frac{sin 2x}{2sin x cos x})^{1/x}$

I am having some problems with this one. The limit is supposed to equal $0$.
Can you pls help me?

A:

begin{align}
lim_{xtoinfty}left(frac{sin(2x)}{2sin(x)cos(x)}right)^{1/x}&=lim_{xtoinfty}left(frac{1-cos(2x)}{2sin(x)cos(x)}right)^{1/x}\
&=lim_{xtoinfty}left(left(frac{1-cos(2x)}{2sin(x)cos(x)}right)^{1/x}cdotleft(frac{sin(x)cos(x)}{sin(2x)}right)^{1/x}right)\
&=lim_{xtoinfty}left(frac{sin(2x)}{sin(x)cos(x)}right)^{1/x}cdotlim_{xtoinfty}left(frac{sin(x)cos(x)}{sin(2x)}right)^{1/x}\
&=0cdot0\
&=0.
end{align}

In this Wednesday, June 15, 2017 photo, a small typeface of flowers rises from the passage wall of the new Taipei Wan Fong Community Center (WFC) in Taipei, Taiwan. The WFC, which is located near the Capital Medical University in Taipei, features a wood slat exterior with a large, tranquil Buddha statue on the roof and plants on the walls. (AP Photo/Shiho Fukada)

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